EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. EKSPONEN

  ~ Definisi Eksponen

Eksponen atau bilangan berpangkat adalah suatu bilangan yang berfungsi dalam menyederhanakan penulisan yang menunjukkan seberapa banyak sebuah bilangan di kalikan dengan bilangan tersebut.

Eksponensiasi adalah sebuah operasi matematika di tulis sebagai bn, melibatkan 2 bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponen atau pangkat n.

 

~ Bentuk Umum

a x a x a x a x a. . . .  x a = an di baca a pangkat n

 

Keterangan:

a = bilangan pokok

n = pangkat atau eksponen

 

Contoh :

3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 bisa di tulis dengan 3 pangkat 7

 

  ~ Sifat Sifat Eksponen

Eksponen memiliki beberapa sifat yang harus dipelajari yaitu:

 

 

 

  ~ Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang mana pangkat atau bilangan pokok dan pangkat nya memuat juga variabel, maka bentuk persamaan eksponen yaitu :

 

 

~ Pertidaksamaan Eksponen

 

 

CONTOH SOAL :

1. Tentukan nilai dari variabel a dengan persamaan di bawah ini:

 

a. (10a²)³ : (5a²)² = 360

 

Pembahasan:

 

(10a²)³ : (5a²)² = 360

360 = (1000 x a6) : (25 x a4)

360 = (100 : 25) x (5a)6-4

360 = 4 x 5a2

360 = 40a²

360 : 40 = a²

9 = a²

a = 3

 

2. Tentukan berapakah nilai variabel z yang memenuhi pertidaksamaan eksponensial di bawah ini:

 

3 z² - 3z + 4 < 9 z – 1

 

Pembahasan:

 

3 z² - 3z + 4 < 9 z – 1

3 z² - 3z + 4 < (3²) z – 1

3 z² - 3z + 4 < 3 2z – 2

 

 

 

 

Basis pada kedua sisi pertidaksamaan bernilai sama yakni 3, sehingga cukup mengerjakan nilai pangkat atau eksponennya saja.

 

z² - 3z + 4 < 2z – 2

z² - 5z + 6 < 0

(z – 3) ( z – 2) < 0

 

Jika dibuat ke dalam garis persamaan maka terdapat garis yang menghubungkan antara nilai 2 dan 3 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah 2 < z < 3

 

 

3. Diketahui akar-akar persamaan dari persamaan eksponensial 32y + 1 – 28 . 3y + 9 = 0 adalah y1 dan y2. Apabila nilai akar y1 > y2, tentukan berapakah nilai 4y1 – y2 …

 

Pembahasan:

32y + 1 – 28 . 3y + 9 = 0

Agar solusi dari persamaan eksponensial bisa didapatkan maka 3^y harus diubah menjadi variabel sendiri misalkan X. Persamaan eksponensial menjadi:

3X² - 28X+9 = 0

(X – 9) (3X – 1) = 0

Sehingga nilai variabel dari persamaan eksponensial adalah X = 9 dan X = 1/3. Akar kedua persamaan adalah:

a) X = 3^y

b) 3² = 3^y

y = 2

b) X = 3^y

1/3 = 3^y

3ˉ¹ = 3^y

y = -1

 

Maka akar y1 = 2 dan y2 = -1 sehingga nilai 4y1 – y2 bisa dihitung dengan mensubstitusikan akar-akarnya:

4y1 – y2

= 4 (2) - (-1)

= 8 + 1

= 9

 

4. Tentukan berapakah nilai z yang memenuhi persamaan di bawah ini:

a. 2z = 16

b. 4z = 0,125

c. 3z/5

 

Jawab:

a. 2z = 16

2z = 24

Maka nilai z = 4

 

b. 4z = 0,125

4z = 1/8

22z = 1/23

22z = 2ˉ³

2z = -3

z = -3/2

c. 3z/5= 1

3z/5= 30/5

z = 0

 

5. Diketahui nilai dari persamaan 2y + 2-y = 5. Tentukan berapakah nilai dari persamaan eksponensial berikut 22y + 2-2y

 

Pembahasan:

22y + 2-2y

= (2y)² + (2-y)²

= (2y + 2-y)² - 2 (2y . 2-y)

= (5)² - 2 (20)

= 25 – 2 (1)

= 25 – 2

= 23

 

 

 

B. LOGARITMA

~ Definisi Logaritma

Logaritma adalah sebuah operasi matematika dari kbalikan eksponen atau bilangan berpangkat.

Basis atau pokok dalam rumus logaritma biasanya berbentuk huruf a.

 

~ Bentuk Umum

 

~ Sifat Sifat Logaritma

Logaritma memiliki beberapa sifat yang harus di pahami yaitu:

 

 

~ Persamaan Logaritma

Adalah persamaan yang mana perubahannya merupakan bagian pokok logaritma.

Berikut adalah persamaan logaritma:

 

 

 

~ Ketidaksamaan Logaritma

 

 

 

 

~ CONTOH SOAL :

 

1. Tentukan nilai logaritma 3log 54 + 3log 18 – 3log 12

Jawab :

3log 54 + 3log 18 – 3log 12

= 3log ((54 × 18) : 12)

= 3log 81

= 3log 34

= 4 × 3log 3

= 4 × 1

= 4

 

2. Tentukan nilai x dari persamaan log 100 = 2x!

Jawab :

log 100 = 2x

⇔ 102x = 100

⇔ 102x = 102

⇔2x = 2

⇔ x = 1

Jadi, nilai x = 1

 

 

3. Tentukan nilai dari:

a) 2log 8 + 3log 9 + 5log 125

b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125

Jawab :

a) 2log 8 + 3log 9 + 5log 125

= 2log 23 + 3log 32 + 5log 53 = 3 2log 2 + 2 3log 3 + 3 5log 5

= 3 + 2 + 3 = 8

b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125

= 2log 2−3 + 3log 3−2 + 5log 5−3

= − 3 − 2 − 3 = − 8

 

4. log 40 = A dan log 2 = B, tentukan nilai dari log 20!

Jawab :

log 20 = log 40/2 = log 40 − log 2 = A − B

 

5. Tentukan nilai dari 3log 5log 125!

Jawab :

3log 5log 125 = 3log 5log 53

= 3log 3 = 1